bpm 5.4. HTTP запрос

Илья, эту тему смотрели?
Дополнительно ознакомиться с отправкой GET и POST запросов в C# Вы можете по этой ссылке, пример есть в конфигурации (схема GoogleMapsToolsSchema).

Как подключить библиотеку?

Не удалось найти имя типа или пространства имен "ActiveXObject" (пропущена директива using или ссылка на сборку?)
AccountEditPage.cs

Илья, думаю проще будет использовать код, приведенный во втором варианте(здесь). Так как в случае первого варианта потребуется скачивать и подключать стороннюю библиотеку. Как подключить библиотеку в версии 5.4 описано в этой статье

Написал вот этот код:

System.Net.WebRequest reqGET = System.Net.WebRequest.Create("http://127.0.0.1:4059/callto?number="+Page.PhoneEdit.Text);
System.Net.WebResponse resp = reqGET.GetResponse();
System.IO.Stream stream = resp.GetResponseStream();
System.IO.StreamReader sr = new System.IO.StreamReader(stream);
string s = sr.ReadToEnd();
Console.WriteLine(s);

На некоторых компьютерах код работает, на каких-то нет.
Там где не работает код пробовал запуск с разных браузеров.
Так же там где не работает в браузер вбивал http://127.0.0.1:4059/callto?number=8913....... - запрос выполняется.

Антивирус и брандмауэр отключал, не помогает.

Илья, как проявляется неработоспособность кода (выводятся ошибки, предупреждения)?

ничего не происходит

Илья, значит при выполнении кода на какой-то из строк происходит свал. Нужно пройти пошагово отладчиком скриптов и тогда будет понятна причина.
Либо альтернатива - заключить код в try - catch с выводом в блоке catch Exception.