При нажатии печать сохранять печатную форму прямиком в облако (гуглдрайв, яндекс диск и т.д.)

Поскольку по действию «Печать» реально происходит генерация PDF-файла и его скачивание, можно на уровне браузера настроить папку для скачивания на нужный путь. В Windows 10 стандартно есть интеграция с OneDrive, когда он видится как обычная папка, можно указать туда.