Вопрос такой - а можно ли где-нибудь посмотреть логи синхронизации почты? Такое впечатление, что периодически обрывается связь с почтовым сервером, в результате чего не приходят письма (приходят позднее, когда восстанавливается связь - но это может и через час произойти), при этом исходящие письма работают. Может где-нибудь логируются данные синхронизаций?
Если первое, то логи пишутся в текстовые файлы, где их искать, см. тут. Находите папку за нужную дату, в ней заходите в Sync, а там будут файлы Exchange.log и IMAP.log, в зависимости от используемой технологии почты.
А если cloud, то логи можно получить по запросу через поддержку.
