Здравствуйте.
Если нужный функционал должен выглядеть так, как Вы описали, то самое простое (не требующее конфигурирования) решение - это описанное Вами в п.1 (настроить соответствующую динамическую группу с просмотром количества записей в строке итогов).

Почав з варіанту (2).
Відразу зіткнувся з необхідністю розмістити зображення на кнопці.
Вибрав png-файл 16x16 (в інших розмірах відображається лише лівий верхній сегмент від зображення), підтягнув його на кнопку і тепер маю наступне:
- коли кнопка активна (Включить [x]), то на кнопці проявляється зображення з файлу;
- коли кнопка неактивна, то на кнопці пусто - тільки жовтий фон.

І як це лікувати ?

"Котенко Александр" написал:настроить соответствующую динамическую группу с просмотром количества записей в строке итогов

Варіант (1) в моєму викладі передбачає постійне оновлення кількості звернень в позиції назви групи, а не в ітогах.

"Ігор Андрусенко" написал:
- коли кнопка активна (Включить [x]), то на кнопці проявляється зображення з файлу;

- коли кнопка неактивна, то на кнопці пусто - тільки жовтий фон.

Я її розмістив поміж кнопками
UnreadEmailCountButton і NewRemindingsCountButton
в групі NavigationButtonsControlLayout.
Включенні-виключення групи дає той же самий ефект.

Я так розумію, що є якийсь секрет в "приготуванні" файлу-зображення для кнопки, який заствляє зображення вести себе правильно, бо параметри самої кнопки співпадають з аналогічними параметрами "правильних" кнопок.

Да, сss стили :)
Заходите в консоль, далее на кнопку с лупой ("обзор элементов"), тыкайте на вашу кнопку, и посмотрите что там за стили применяются в момент нажатия. Вполне возможно, что position -161px какой нибудь устанавливается.
Там можно сразу и подредактировать и проверить эффект. Когда добьетесь своего, запоминаете название Ccs класса (вроде .base-text-edit .on-hover) который вы редактировали, созадете свой модуль, во вкладку less копируете исправленный класс, и подключаете его в define страницы: "имяМодуля!css".

А и да, еще в Diff потом в кнопку в свойство "controlConfig" нужно добавить "classes".
Я так делал, когда нужно было поменять поведения правой кнопки в текстовом контроле:

controlConfig: {
 
				"classes": ["lookup-edit-right-icon-custom"],
 
			}

Це в дизайнері сторінки ?

css подключается в дизайнере страницы, да. А создается в элементе с типом "модуль" во вкладке LESS.

но не спешите, сначала отладьте все в консоли:

Ох, простите, мои рекомендации относительно 7.х. У вас, я так понимаю, 5.х.... Тогда, к сожалению, тут вам не помогу :(

З файлу SolutionResources.xml витягнув зображення для кнопки непрочитаних email-ів (UnreadEmailCountButton) в коді Base64.
Розкодував код у файл image.png
Виявилось, таки правда, - хитро приготований файл для іконки.
По його прикладу приготував свій файл для нових пов'язаних звернень 16x64.
Ось така організація:

Игорь, с таким форматом файла кнопка заработала как надо?

На сторінці [MainPage] створив нову кнопку [NewServiceRequestLinkedButton].
Добавив лічильник нових пов'язаних звернень в SQL-функцію [fn_GetContactCounters],
в [MainPageEventsProcessSchema].[PageLoadCompleteScriptTask] добавив код обробки для новоствореної кнопки у змінній [remindingTimerScript]:

PageContainer_NewServiceRequestLinkedButton.
	setEnabled(userCounters.newIncidentsLinkedCount > 0);
PageContainer_NewServiceRequestLinkedButton.
	setCaption(userCounters.newIncidentsLinkedCount.toString());
if (userCounters.newIncidentsLinkedCount && userCounters.newIncidentsLinkedCount > 0) { 
	PageContainer_NewServiceRequestLinkedButton.setButtonStyle('yellow');
} else {
	PageContainer_NewServiceRequestLinkedButton.setButtonStyle('blue');											   
}

На даний момент маю ось такий результат:
Якщо є нові пов'язані звернення:

І якщо немає:

То есть решение было и в правильной картинке, и в выставлении Enabled, и в выставлении стиля?

Тепер ще треба до кнопки прив'язати функціонал переходу в розділ [Обращения] і забезпечити, щоб активною ставала динамічна група.

"Зверев Александр" написал:То есть решение было и в правильной картинке, и в выставлении Enabled, и в выставлении стиля?

Как по кнопке перейти в нужный раздел, см. тут.